Filsafat merupakan cabang ilmu tertua yang salah satunya
mempelajari tentang cara menguji suatu pernyataan apakah dapat menjadi suatu
pengetahuan. Syarat suatu pernyataan menjadi pengetahuan haruslah “true,
believe, and justified”. Suatu pernyataan harus benar, bersumber dari fakta
atau dibangun dari teori-teori yang sudah teruji. Selanjutnya pernyataan itu wajib
dipercaya baik oleh diri sendiri maupun orang lain. Tentunya suatu pernyataan
menjadi pengetahuan dibutuhkan orang lain yang mempercayainya, tanpa adanya
kepercayaan dari orang lain suatu pernyataan tetaplah menjadi pernyataan.
Terakhir pernyataan harus dapat diuji kebenaran, baik dari sumber datanya maupun
proses terbentuknya menjadi sebuah sebuah pernyataan. Jika ketiganya telah
terpenuhi maka pernyataan layak dikatakan sebagai pengeahuan.
Nah, bagaimana dengan pengetahuan pada matematika? apakah
setiap proses pengetahuan yang terbentuk dalam matematika melalui tahap “true,
believe, and justified”. Dalam buku “What is this thing called knowledge?”
karya Duncan Pritchard disebutkan ada tiga pendekatan yang digunakan dalam
menyelesaikan masalah matematika yaitu deduktif, induktif, dan abduktif.
Pendekatan deduktif yaitu proses pengolahan data/informasi
dalam rangka menggunakan defenisi,
aksioma, sifat, teorema, atau lemma serta
pernyataan yang sudah dijamin kebenaran untuk menyelesaikan masalah yang
ditemui. Matematika merupakan ilmu deduktif, karena semua pernyataan turunannya
diperoleh dengan menggunakan defenisi, aksioma, sifat, teorema, atau lemma. Misalnya
pada bilangan berpangkat, pengetahuan tentang bilangan berpangkat dibangun dari
defenisi yaitu an = a x a x a x … x a (perkalian a sebanyak n faktor).
Jadi jika ada sifat operasi pangkat an x bn = (a xb)n
maka proses pembuktiannya (justifikasi) menggunakan defenisi yaitu
an x bn = (a x a x a x … x a) x (b x b
x b x … x b)
= (a x b) x (a x b) x (a x b) x
… x (a x b)
= (a x b)n
Dari contoh yang diberikan terlihat bahwa pengetahuan pada
bidang ilmu matematika dapat diperoleh
dengan pendekatan deduktif. Namun cara mengenalkan pengetahuan matematika
dengan pendekatan akan bermasalah ketika diterapkan di tingkat pemula misalnya
dikenalkan pada siswa sekolah dasar atau sekolah menengah. Karena pendekatan
deduktif cenderung lebih abstrak atau tidak sesuai dengan perkembangan kognitif
anak yang mengenal sesuatu dari yang kongkrit. Sehingga pendekatan induktif
merupakan alternatif solusi dari masalah ini.
Pendekatan induktif merupakan proses berpikir yang dimulai
dari contoh-contoh untuk menemukan pola umum dari masalah yang diberikan.
Banyak contoh-contoh pada pembelajaran matematika yang mudah dipahami dengan
menggunakan pendekatan induktif. Misalnya pada sifat komutatif pada operasi
penjumlahan atau perkalian. Sebagai contoh; 4 + 5 = 5 + 4 = 9, 7 + 5 = 5 + 7 =
12, -2 + 3 = 3 + (-2) = 1, dan lain sebagainya. Dari beberapa contoh kasus yang
diberikan dapat disimpulkan bahwa a + b = b + a (sifat komutatif). Tentunya
masih banyak temuan-temuan pada matematika tingkat lanjut yang diawali dengan menggunakan
pendekatan induktif. Misalnya Teorema Terakhir Fermat (an + bn
= cn, tidak ada a, b, c, n bilangan asli yang memenuhi untuk n lebih
dari 2) teorema ini awalnya berupa konjektur (dugaan/pernyataan) butuh 358
tahun untuk membuktikannya. Begitu juga ada konjektur yang sampai saat ini
belum dapat dibuktikan kebenarannya misalnya konjektur Goldbach yang menyatakan
“setiap bilangan bulat genap yang lebih besar dari 2 dapat ditulis sebagai
jumlah dari dua bilangan prima”. Konjektur ini sudah berumur 280 tahun atau
tepatnya pada 1742 diajukan oleh Christian Goldbach. Begitu banyak temuan dalam
matematika yang diawali dengan pendekatan induktif. Tentunya pendekatan
deduktif dan induktif belum cukup untuk menyelesaikan masalah matematika yang
ditemui. khususnya bila masalah yang diberikan membutuhkan informasi lainnya.
Untuk menghitung luas daerah yang berwarna hijau, dibutuhkan
informasi luas daerah diluarnya untuk menyelesaikan masalah yang diberikan.
Proses berpikir yang membutuhkan informasi lainnya dinamakan pendekatan
deduktif. Cara berpikir menggunakan
pendekatan abduktif cocok diterapkan untuk
menyelesaikan masalah yang lebih kompleks.
Dari ketiga pendekatan berpikir, untuk para pelajar
matematika tingkat lanjut, pendekatan deduktif yang paling disarankan, karena pada
dasarnya matematika adalah ilmu deduktif. Namun bagi pemula atau yang baru
belajar matematika maka pendekatan induktif yang paling disarankan, karena kita
dapat membangun pengetahuan dari contoh-contoh menuju pola umum. Berbagai
pendekatan untuk belajar matematika akan selalu berkembang sesuai dengan
tingkat masalah yang ditemui.
I Ketut Kertayasa (Mahasiswa
S3 Pendidikan Matematika Universitas Pendidikan Indonesia, Penerima Beasiswa
Pendidikan Indonesia (BPI) Tahun 2022)
